現役数学科大学生が教える数学（高校編）

二次関数

二次関数（quadratic function）は、数学の中で非常に重要な役割を果たす関数の一つであり、その本質を理解することは数学や科学のさまざまな応用に役立ちます。以下に、二次関数の本質について説明します。

形式：二次関数は一般的に以下の形式で表されます。 f(x) = ax^2 + bx + c

ここで、a、b、cは定数で、a ≠ 0である必要があります。xは変数で、f(x)は関数の出力を表します。
二次曲線：二次関数は、グラフを描くと二次曲線（parabola）を生成します。この曲線は、通常、上向きまたは下向きの放物線の形をしており、頂点（vertex）を持ちます。
頂点：二次関数のグラフの頂点は、関数が最小値または最大値を取る点であり、その位置は以下の式で求めることができます。 x = -b / (2a) y = f(x)

この頂点は、二次曲線の対称軸（axis of symmetry）と呼ばれる直線に位置しています。
判別式：二次関数の挙動を理解するために、判別式（discriminant）と呼ばれる式が重要です。判別式は、b² - 4acとして定義され、二次関数の解（根）の性質を示します。
- 判別式が正の場合：二次関数は2つの異なる実数の解を持ちます。
- 判別式がゼロの場合：二次関数は重解（重複した解）を持ちます。
- 判別式が負の場合：二次関数は実数の解を持ちません。代わりに、複素数の解を持つことになります。
応用分野：二次関数はさまざまな分野で応用されます。物理学、工学、経済学、統計学、コンピューターグラフィックスなど、多くの分野で二次関数が現実の問題をモデル化し、解決するために使用されます。例えば、自由落下の運動、放物線運動、コスト関数、最小二乗法などがあります。

二次関数の本質は、数学的なツールとしての役割だけでなく、現実の問題をモデル化し、理解するために非常に役立つことです。頂点、判別式、および二次曲線の形状を理解することで、二次関数の基本的な性質と挙動を把握できます。

高校で学習する二次関数の一般的な公式について説明します。二次関数は以下の形式で表されます：

f(x) = ax^2 + bx + c

ここで、a、b、cは定数で、a ≠ 0である必要があります。xは変数で、f(x)は関数の出力を表します。高校で一般的に学ぶことになる主要な公式には次のものがあります：

頂点の公式：二次関数の頂点（最小値または最大値を取る点）を求めるための公式は次の通りです。

頂点のx座標 = -b / (2a) 頂点のy座標 = f(頂点のx座標)
判別式の公式：判別式は二次関数の解（根）の性質を示すための公式です。

判別式 = b² - 4ac

判別式の値によって、二次関数の解の性質が次のように分類されます：
- 判別式 > 0：二次関数は2つの異なる実数の解を持つ。
- 判別式 = 0：二次関数は重解（重複した解）を持つ。
- 判別式 < 0：二次関数は実数の解を持たず、複素数の解を持つ。
x切片：x軸との交点を求めるための公式は、f(x) = 0 とおいた場合のxの値です。これは方程式を解くことになります。

ax^2 + bx + c = 0